ТВиМС (Теория вероятностей и математическая статистика) | Автор топика: ()
ТВиМС (Теория вероятностей и математическая статистика)
9 Aug 2016 11:06
Решения Рябушко ИДЗ, Прокофьева, Шимановича
Вариант 1
1.1.
2.1. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «песня». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «песня».
3.1. В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, равны соответственно 0, 9; 0, 8; 0, 7. Найти вероятность того, что в данный момент включены: а) две камеры; б) не более одной камеры; в) три камеры.
4.1. 20 % приборов монтируется с применением микромодулей, остальные – с применением интегральных схем. Надежность прибора с применением микромодулей – 0, 9, интегральных схем – 0, 8. Найти: а) вероятность надежной работы наугад взятого прибора; б) вероятность того, что прибор – с микромодулем, если он был исправен.
5.1. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80 %. Найти вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдет: а) три; б) не менее трех; в) четыре.
6.1. Вероятность появления событий в каждом из независимых испытаний равна 0, 25. Найти вероятность того, что событие наступит 50 раз в 243 испытаниях.
https://fizmathim.ru/shop/10375/desc/idz-18-1-variant-1-reshebnik-idz-rjabushko
Вариант 2
1.2. Пять пассажиров садятся в электропоезд, состоящий из 10 вагонов. Каждый пассажир с одинаковой вероятностью может сесть в любой из 10 вагонов. Определить число всех возможных вариантов размещения пассажиров в поезде.
2.2. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что наугад извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани.
3.2. На заводе железобетонных изделий изготавливают панели, 90 % из которых – высшего сорта. Какова вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей высшего сорта будут: а) три панели; б) хотя бы одна панель; в) не более одной панели?
4.2. Детали попадают на обработку на один из трех станков с вероятностями, равными соответственно 0, 2; 0, 3; 0, 5. Вероятность брака на первом станке равна 0, 02, на втором – 0, 03, на третьем – 0, 01. Найти: а) вероятность того, что случайно взятая после обработки деталь – стандартная; б) вероятность обработки наугад взятой детали на втором станке, если она оказалась стандартной.
5.2. В семье четверо детей. Принимая равновероятным рождение мальчика и девочки, найти вероятность того, что мальчиков в семье: а) три; б) не менее трех; в) два.
6.2. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0, 8. Найти вероятность того, что в 144 испытаниях событие наступит 120 раз.
https://fizmathim.ru/shop/10376/desc/idz-18-1-variant-2-reshebnik-idz-rjabushko
9 Aug 2016 11:09
Решения Рябушко ИДЗ, Прокофьева, Шимановича
Вариант 3
1.3. Студенты данного курса изучают 12 дисциплин. В расписание занятий каждый день включается по 3 предмета. Сколькими способами может быть составлено расписание занятий на каждый день?
2.3. Из партии втулок, изготовленных за смену токарем, случайным образом отбирается для контроля 10 шт. Найти вероятность того, что среди отобранных втулок две – второго сорта, если во всей партии 25 втулок первого сорта и 5 – второго.
3.3. В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока для них равны соответственно 0, 3; 0, 2; 0, 4. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдут из строя: а) не менее двух радиоламп; б) ни одной радиолампы; в) хотя бы одна радиолампа?
4.3. Среди поступивших на сборку деталей 30 % - с завода № 1, остальные – с завода № 2. Вероятность брака для завода № 1 равна 0, 02, для завода № 2 – 0, 03. Найти: а) вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная; б) вероятность изготовления наугад взятой детали на заводе № 1, если она оказалась стандартной.
5.3. Среди заготовок, изготавливаемых рабочим, в среднем 4% не удовлетворяет требованиям стандарта. Найти вероятность того, что среди 6 заготовок, взятых для контроля, требованиям стандарта не удовлетворяют: а) не менее пяти; б) не более пяти; в) две.
6.3. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0, 2. Найти вероятность того, что событие наступит 25 раз в 100 испытаниях.
https://fizmathim.ru/shop/10377/desc/idz-18-1-variant-3-reshebnik-idz-rjabushko
9 Aug 2016 11:09
Решения Рябушко ИДЗ, Прокофьева, Шимановича
Вариант 4
1.4. Восемь человек договорились ехать в одном поезде, состоящем из восьми вагонов. Сколькими способами можно распределить этих людей по вагонам, если в каждый вагон сядет по одному человеку?
2.4. В лифт шестиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выйдет на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут на четвертом этаже.
3.4. В первом ящике 20 деталей, 15 из них – стандартные, во втором ящике 30 деталей, 25 из них – стандартные. Из каждого ящика наугад берут по одной детали. Какова вероятность того, что: а) обе детали будут стандартными; б) хотя бы одна деталь стандартная; в) обе детали нестандартные?
4.4. Три автомата изготавливают однотипные детали, которые поступают на общий конвейер. Производительности первого, второго и третьего автоматов соотносятся как 2:3:5. Вероятность того, что деталь с первого автомата – высшего качества, равна 0, 8, со второго – 0, 6, с третьего – 0, 7. Найти вероятность того, что: а) наугад взятая с конвейера деталь окажется высшего качества; б) наугад взятая деталь высшего качества изготовлена первым автоматом.
5.4. Вероятность выигрыша по одной облигации трехпроцентного займа равна 0, 25. Найти вероятность того, что из восьми купленных облигаций выигрышными окажутся: а) три; б) две; в) не менее двух.
6.4. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0, 7. Найти вероятность того, что событие наступит не менее 1470 раз и не более 1500 раз.
https://fizmathim.ru/shop/10378/desc/idz-18-1-variant-4-reshebnik-idz-rjabushko
9 Aug 2016 11:09
Решения Рябушко ИДЗ, Прокофьева, Шимановича
Вариант 5
1.5. В шахматном турнире участвовало 14 шахматистов, каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего сыграно партий?
2.5. В группе спортсменов 7 лыжников и 3 конькобежца. Из нее случайным образом выделены три спортсмена. Найти вероятность того, что все выбранные спортсмены окажутся лыжниками.
3.5. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0, 9, вторым – 0, 7. Оба стрелка сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель поражена: а) хотя бы один раз; б) два раза; в) один раз?
4.5. Комплектовщик получает для сборки 30 % деталей с завода № 1, 20 % - с завода № 2, остальные – с завода № 3. Вероятность того, что деталь с завода № 1 – высшего качества, равна 0, 9, с завода № 2 – 0, 8, с завода № 3 – 0, 6. Найти вероятность того, что: а) случайно взятая деталь – высшего качества; б) наугад взятая деталь высшего качества изготовлена на заводе № 2.
5.5. Вероятность успешной сдачи студентом каждого из пяти экзаменов равна 0, 7. Найти вероятность успешной сдачи: а) трех экзаменов; б) двух экзаменов; в) не менее двух экзаменов.
6.5. Вероятность производства бракованной детали равна 0, 008. Найти вероятность того, что из взятых на проверку 1000 деталей 10 бракованных.
https://fizmathim.ru/shop/10379/desc/idz-18-1-variant-5-reshebnik-idz-rjabushko
9 Aug 2016 11:09
Решения Рябушко ИДЗ, Прокофьева, Шимановича
Вариант 6
1.6. На конференцию из трех групп студентов одной специальности выбирают по одному делегату. Известно, что в первой группе 25, во второй – 28 и в третьей – 20 человек. Определить число возможных делегаций, если известно, что каждый студент из любой группы с одинаковой вероятностью может войти в состав делегации.
2.6. Из букв разрезной азбуки составлено слово «ремонт». Карточки с отдельными буквами тщательно перемешивают, затем наугад вытаскивают 4 карточки и раскладывают их в порядке извлечения. Какова вероятность получения при этом слова «море»?
3.6. При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения равны соответственно 0, 7; 0, 8; 0, 9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль: а) будет обнаружен тремя станциями; б) будет обнаружен не менее чем двумя станциями; в) не будет обнаружен.
4.6. Заготовка может поступить для обработки на один из двух станков с вероятностями 0, 4 и 0, 6 соответственно. При обработке на первом станке вероятность брака составляет 2 %, на втором – 3 %. Найти вероятность того, что: а) наугад взятое после обработки изделие – стандартное; б) наугад взятое после обработки стандартное изделие обработано на первом станке.
5.6. Вероятность работы каждого из семи моторов в данный момент равна 0, 8. Найти вероятность того, что в данный момент включены: а) хотя бы один мотор; б) два мотора; в) три мотора.
6.6. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0, 2. Найти вероятность того, что событие наступит 20 раз в 100 испытаниях.
https://fizmathim.ru/shop/10380/desc/idz-18-1-variant-6-reshebnik-idz-rjabushko
9 Aug 2016 11:09
Решения Рябушко ИДЗ, Прокофьева, Шимановича
Вариант 7
1.7. Из девяти значащих цифр составляются трехзначные числа. Сколько различных чисел может быть составлено?
2.7. Из восьми книг две художественные. Найти вероятность того, что среди взятых наугад четырех книг хотя бы одна художественная.
3.7. Вычислительная машина состоит из четырех блоков. Вероятность безотказной работы в течение времени Т первого блока равна 0, 4, второго – 0, 5, третьего – 0, 6, четвертого – 0, 4. Найти вероятность того, что в течение времени Т проработают: а) все четыре блока; б) три блока; в) менее трех блоков.
4.7. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для станка № 1 составляет 0, 03, для станка № 2 – 0, 02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем деталей, обработанных на станке № 1, вдвое больше, чем на станке № 2. Найти вероятность того, что: а) взятая наугад деталь будет стандартной; б) наугад взятая стандартная деталь изготовлена на первом станке.
5.7. В телеателье имеется 7 телевизоров. Для каждого телевизора вероятность того, что в данный момент он включен, равна 0, 6. Найти вероятность того, что в данный момент включены: а) четыре телевизора; б) хотя бы один телевизор; в) не менее трех телевизоров.
6.7. Вероятность промаха при одном выстреле по мишени равна 0, 1. Сколько выстрелов необходимо произвести, чтобы с вероятностью 0, 9544 можно было утверждать, что относительная частота промаха отклонится от постоянной вероятности по абсолютной величине не более чем на 0, 03?
https://fizmathim.ru/shop/10381/desc/idz-18-1-variant-7-reshebnik-idz-rjabushko
9 Aug 2016 11:09
Решения Рябушко ИДЗ, Прокофьева, Шимановича
Вариант 8
1.8. Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с помощью девяти значащих цифр, из которых ни одна не повторяется?
2.8. На полке 6 радиоламп, из которых две негодные. Случайным образом отбираются две радиолампы. Какова вероятность того, что они годны для использования?
3.8. Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, - высшего качества, равна 0, 7, вторым – 0, 8, третьим – 0, 6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Какова вероятность того, что высшего качества будут: а) все подшипники; б) два подшипника; в) хотя бы один подшипник?
4.8. В дисплейном классе имеется 10 персональных компьютеров первого типа и 15 второго типа. Вероятность того, что за время работы на компьютере первого типа не произойдет сбой, равна 0, 9, а на компьютере второго типа – 0, 7. Найти вероятность того, что: а) на случайно выбранном компьютере за время работы не произойдет сбой; б) компьютер, во время работы на котором не произошел сбой, - первого типа.
5.8. При массовом производстве полупроводниковых диодов вероятность брака при формовке равна 0, 1. Найти вероятность того, что из восьми диодов, проверяемых ОТК, бракованных будет: а) два; б) не менее двух; в) не более двух.
6.8. Среднее число машин, прибывающих в автопарк за 1 мин, равно двум. Найти вероятность того, что за 5 мин прибудет не менее двух машин, если поток прибытия машин простейший.
https://fizmathim.ru/shop/10382/desc/idz-18-1-variant-8-reshebnik-idz-rjabushko
9 Aug 2016 11:10
Решения Рябушко ИДЗ, Прокофьева, Шимановича
Вариант 9
1.9. В пассажирском поезде 10 вагонов. Сколькими способами можно размещать вагоны, составляя этот поезд?
2.9. В запасе ремонтной мастерской 10 поршневых колец, три из них восстановленные. Определить вероятность того, что среди взятых наугад четырех колец два окажутся восстановленными?
3.9. На сборку поступают детали с трех станков с ЧПУ. Первый станок дает 20 %, второй – 30, третий – 50 % однотипных деталей, поступающих на сборку. Найти вероятность того, что из трех наугад взятых деталей: а) три с разных станков; б) три с третьего станка; в) две с третьего станка.
4.9. В пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по 5 красных шаров, в шести других ящиках с 20 шарами в каждом – по 4 красных шара. Найти вероятность того, что: а) из наугад взятого ящика наудачу взятый шар будет красным; б) наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков.
5.9. Вероятность поражения мишени для данного стрелка в среднем составляет 80 %. Стрелок произвел 6 выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что мишень была поражена: а) пять раз; б) не менее пяти раз; в) не более пяти раз.
6.9. Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец равна 0, 3. Найти вероятность того, что для 800 заготовок число бракованных колец заключено между 225 и 250.
https://fizmathim.ru/shop/10383/desc/idz-18-1-variant-9-reshebnik-idz-rjabushko
9 Aug 2016 11:10
Решения Рябушко ИДЗ, Прокофьева, Шимановича
Вариант 10
1.10. Из 10 кандидатов на одну и ту же должность должно быть выбрано 3. Определить все возможные варианты результатов выборов.
2.10. Десять студентов условились ехать определенным рейсом электропоезда с 10 вагонами, но не договорились о номере вагона. Какова вероятность того, что ни один из них не встретится с другим, если возможности в размещении студентов по вагонам равновероятны?
3.10. Первый станок-автомат дает 1 % брака, второй – 1, 5, а третий – 2%. Случайным образом отобрали по одной детали с каждого станка. Какова вероятность того, что стандартными окажутся: а) три детали; б) две детали; в) хотя бы одна деталь?
4.10. По линии связи передано два сигнала типа А и В с вероятностями соответственно 0, 8 и 0, 2. В среднем принимается 60 % сигналов типа А и 70 % типа В. Найти вероятность того, что: а) посланный сигнал будет принят; б) принятый сигнал – типа А.
5.10. Вероятность сдачи экзамена для каждого из шести студентов равна 0, 8. Найти вероятность того, что экзамен сдадут: а) пять студентов; б) не менее пяти студентов; в) не более пяти студентов.
6.10. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0, 8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 75 раз
https://fizmathim.ru/shop/10384/desc/idz-18-1-variant-10-reshebnik-idz-rjabushko
9 Aug 2016 11:10
Решения Рябушко ИДЗ, Прокофьева, Шимановича
Вариант 11
1.11. Бригадир должен отправить на работу звено из 5 человек. Сколько таких звеньев можно составить из 12 человек бригады?
2.11. Билеты лотереи выпущены на общую сумму 10000 у.е. Цена билета 0, 5 у.е. Ценные выигрыши падают на 50 билетов. Определить вероятность ценного выигрыша на один билет.
3.11. В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, равна соответственно 0, 2; 0, 3; 0, 1. Найти вероятность того, что включены: а) два электродвигателя; б) хотя бы один электродвигатель; в) три электродвигателя.
4.11. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, используются индикаторы двух типов. Вероятности того, что индикатор принадлежит к одному из двух типов, равны соответственно 0, 4 и 0, 6. При нарушении работы линии вероятность срабатывания индикатора первого типа равна 0, 9, второго – 0, 7. а) Найти вероятность того, что наугад выбранный индикатор сработает при нарушении нормальной работы линии, б) Индикатор сработал. К какому типу он вероятнее всего принадлежит?
5.11. Вероятность поражения в каждой шахматной партии для игрока равна 0, 5. Найти вероятность того, что он выиграл в шести партиях: а) хотя бы один раз; б) два раза; в) не менее двух раз.
6.11. Вероятность появления события в каждом независимом испытании равна 0, 7. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие наступит не более 70 раз.
https://fizmathim.ru/shop/10385/desc/idz-18-1-variant-11-reshebnik-idz-rjabushko
9 Aug 2016 11:10
Решения Рябушко ИДЗ, Прокофьева, Шимановича
Вариант 12
1.12. Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, если известно, что любые три из них не лежат на одной прямой?
2.12. В группе из 8 спортсменов шесть мастеров спорта. Найти вероятность того, что из двух случайным образом отобранных спортсменов хотя бы один – мастер спорта.
3.12. На участке кросса для мотоциклиста-гонщика имеется три препятствия. Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0, 4, второго – 0, 5, третьего – 0, 6. Найти вероятность успешного преодоления: а) трех препятствий; б) не менее двух препятствий; в) двух препятствий.
4.12. Резистор, поставленный в телевизор, может принадлежать к одной из двух партий с вероятностями 0, 6 и 0, 4. Вероятности того, что резистор проработает гарантийное число часов, для этих партий равны соответственно 0, 8 и 0, 7. а) Найти вероятность того, что взятый наугад резистор проработает гарантийное число часов, б) Резистор проработал гарантийное число часов. К какой партии он вероятнее всего принадлежит?
5.12. Всхожесть семян лимона составляет 80 %. Найти вероятность того, что из 9 посеянных семян взойдет: а) семь; б) не более семи; в) более семи.
6.12. Найти вероятность одновременного останова 30 машин из 100 работающих, если вероятность останова для каждой машины равна 0, 2.
https://fizmathim.ru/shop/10386/desc/idz-18-1-variant-12-reshebnik-idz-rjabushko
9 Aug 2016 11:10
Решения Рябушко ИДЗ, Прокофьева, Шимановича
Вариант 13
1.13. Сколькими способами можно составить патруль из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?
2.13. Из партии деталей, среди которых 100 стандартных и 5 бракованных, для контроля наугад взято 12 шт. При контроле выяснилось, что первые 10 из 12 деталей – стандартные. Определить вероятность того, что следующая деталь будет стандартной.
3.13. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0, 9, второй – 0, 7, третий – 0, 6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст: а) два экзамена; б) не менее двух экзаменов; в) не более двух экзаменов.
4.13. При отклонении от штатного режима работы поточной линии срабатывают сигнализатор типа Т-1 с вероятностью 0, 9 и сигнализатор типа Т-2 с вероятностью 0, 8. Вероятности того, что линия снабжена сигнализаторами типа Т-1 и Т-2, равны соответственно 0, 7 и 0, 3. а) Найти вероятность того, что при отклонении от штатного режима работы сигнализатор сработает, б) Сигнализатор сработал. К какому типу он вероятнее всего принадлежит?
5.13. При штамповке изделий бывает в среднем 20 % брака. Для контроля отобрано 8 изделий. Найти: а) вероятность того, что два изделия окажутся бракованными; б) наивероятнейшее число бракованных изделий; в) вероятность наивероятнейшего числа бракованных изделий.
6.13. Аппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента за время Т равна 0, 001 и не зависит от работы других элементов. Найти вероятность отказа не менее двух элементов.
https://fizmathim.ru/shop/10387/desc/idz-18-1-variant-13-reshebnik-idz-rjabushko
9 Aug 2016 11:10
Решения Рябушко ИДЗ, Прокофьева, Шимановича
Вариант 14
1.14. Сколькими способами можно распределить 6 различных книг между тремя учениками так, чтобы каждый получил 2 книги?
2.14. Определить вероятность того, что серия наугад выбранной облигации не содержит одинаковых цифр, если номер серии может быть любым пятизначным числом начиная с 00001.
3.14. Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с вероятностями 0, 8; 0, 7; 0, 5. Какова вероятность обнаружения самолета; а) одним радиолокатором; б) двумя радиолокаторами; в) хотя бы одним радиолокатором?
4.14. Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено 10 человек из первой группы и 8 из второй. Вероятность того, что студент первой группы попадет в сборную института, равна 0, 8, а для студента второй группы – 0, 7. а) Найти вероятность того, что случайно выбранный студент попал в сборную института, б) Студент попал в сборную института. В какой группе он вероятнее всего учится?
5.14. Среди изделий, подвергавшихся термической обработке, в среднем 80 % высшего сорта. Найти вероятность того, что среди пяти изделий: а) хотя бы четыре высшего сорта; б) четыре высшего сорта; в) не более четырех высшего сорта.
6.14. Найти вероятность поражения мишени 75 раз при 100 выстрелах, если вероятность поражения при одном выстреле равна 0, 8.
https://fizmathim.ru/shop/10388/desc/idz-18-1-variant-14-reshebnik-idz-rjabushko
9 Aug 2016 11:10
Решения Рябушко ИДЗ, Прокофьева, Шимановича
Вариант 15
1.15. Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе трех человек?
2.15. Буквенный замок содержит на обшей оси 5 дисков, каждый из которых разделен на 6 секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв.
3.15. Два бомбардировщика преодолевают зону ПВО. Вероятность того, что будет сбит первый бомбардировщик, равна 0, 7, второй – 0, 8. Найти вероятность: а) уничтожения одного бомбардировщика; б) поражения двух бомбардировщиков; в) промахов.
4.15. На сборку поступают детали с трех конвейеров. Первый даст 25 %, второй – 30 и третий – 45 % деталей, поступающих на сборку. С первого конвейера в среднем поступает 2 % брака, со второго – 3, с третьего – 1 %. Найти вероятность того, что: а) на сборку поступила бракованная деталь; б) поступившая на сборку бракованная деталь – со второго конвейера.
5.15. Оптовая база обслуживает 6 магазинов. Вероятность получения заявки базой на данный день для каждого из магазинов равна 0, 6. Найти вероятность того, что в этот день будет: а) пять заявок; б) не менее пяти заявок; в) не более пяти заявок.
6.15. Станок состоит из 2000 независимо работающих узлов. Вероятность отказа одного узла в течение года равна 0, 0005. Найти вероятность отказа в течение года двух узлов.
https://fizmathim.ru/shop/10389/desc/idz-18-1-variant-15-reshebnik-idz-rjabushko
9 Aug 2016 11:10
Решения Рябушко ИДЗ, Прокофьева, Шимановича
Вариант 16
1.16. Сколькими различными способами собрание, состоящее из 40 человек, может выбрать председателя собрания, его заместителя и секретаря?
2.16. Партия из 100 деталей проверяется контролером, который наугад отбирает 10 деталей и определяет их качество. Если среди выбранных контролером деталей нет ни одной бракованной, то вся партия принимается. В противном случае ее посылают на дополнительную проверку. Какова вероятность того, что партия деталей, содержащая 5 бракованных, будет принята контролером?
3.16. Стрелок произвел четыре выстрела по удаляющейся от него цели, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0, 7, а после каждого выстрела уменьшается на 0, 1. Вычислить вероятность того, что цель будет поражена: а) четыре раза; б) три раза; в) не менее трех раз.
4.16. В двух коробках имеются однотипные конденсаторы. В первой 20 конденсаторов, из них 2 неисправных, во второй – 10, из них 3 неисправных, а) Найти вероятность того, что наугад взятый конденсатор из случайно выбранной коробки годен к использованию, б) Наугад взятый конденсатор оказался годным. Из какой коробки он вероятнее всего взят?
5.16. После зубофрезеровки шестерен у рабочего в среднем получается 20 % нестандартных шестерен. Найти вероятность того, что среди взятых шести шестерен нестандартных будет: а) три; б) не более трех; в) хотя бы одна.
6.16. Промышленная телевизионная установка содержит 2000 транзисторов. Вероятность выхода из строя каждого из транзисторов равна 0, 0005. Найти вероятность выхода из строя хотя бы одного транзистора.
https://fizmathim.ru/shop/10390/desc/idz-18-1-variant-16-reshebnik-idz-rjabushko
Метки: Вероятность того что чайник выйдет из строя
Уроки:
математика теория | Автор топика: Armani
1.Классическое определение вероятности события. Пример. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой: Р (A) = m / n, где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных элементарных исходов испытания. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства: С в о й с т в о 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно, Р (A) = m / n = n / n = 1. С в о й с т в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю. В этом случае m = 0, следовательно, Р (А) = m / n = 0 / n = 0. С в о й с т в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно, 0 < Р (А) < 1. ПРИМЕР. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар? Решение. Так как синих шаров в урне нет, то m=0, n=15. Следовательно, искомая вероятность р=0. Событие, заключающееся в вынимании синего шара невозможное.
2. Несовместные события. Пример. Вероят-ность суммы несовместных событий. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих собы-тий. Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В) = Р (А) + Р (В). С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р (A1 + A2 +... + An) = Р (A1) + Р (A2) +... + Р (An).Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0, 45, во вторую — 0, 35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в пер-вую, либо во вторую область. Р е ш е н и е. События А — "стрелок попал в первую область" и В — "стрелок попал во вторую область" — несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность Р (А + В) = Р (А) + Р (В) = 0, 45 + 0, 35 = 0, 80.
3.Сумма совместных событий. Пример. Ве-роятность суммы совместных событий. Слу-чайные события А и В называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба этих события, то есть произойдет совмещение событий А и В. Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Пример: 1) две монеты: при броске могут одновременно выпасть два орла (две решки); то обстоятельство, что первая монета падает случайным образом, никак не влияет на вторую монету, но нас могут интересовать, допустим, только такие случаи, когда монеты выпали одинаково – кстати, вероятность этого факта мы могли бы мысленно обозначить как Р(А), а вероятность выпадения разных рисунков тогда придется принять за Р' =1- Р(А). Вероятность суммы совместных событий (АВ) вычисляется по формуле:P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).
Amir (Haifa) 4.Умножение зависимых событий. Пример. Вероятность произведения зависимых собы-тий. Если вероятность наступления события A зави-сит от того, наступило событие B или нет, события на-зывают зависимыми и вводят понятие условной веро-ятности. Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению ве-роятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: P (AB) = P (A)*PA(B). Пример. В читальном зале имеется 6 учебников по информатике, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
РЕШЕНИЕ. Рассмотрим следующие события:
А1- первый взятый учебник в переплете;
A2- второй взятый учебник в переплете.
Событие A = A1 * A2, состоит в том, что оба взятых учебника в переплете. События А1 и А2 являются за-висимыми, так как вероятность наступления события А2 зависит от наступления события А1. Поэтому, для вычисления вероятности воспользуемся формулой (2.4). Вероятность наступления события А1 в соответствии с классическим определением вероятности:
P (А1) = m / n = 3/6 = 0, 5.
P А1 (А2) определяется как условная вероятность на-ступления события А2 при условии, что событие А1 уже наступило:
P А1 (А2) = 2/5 = 0, 4.
Тогда искомая вероятность наступления события А:
P (А) = 0, 5 * 0, 4 = 0, 2.
5.Зависимые события. Пример. Вероятность зависимых событий. События называются зави-симыми, если одно из них влияет на вероятность появ-ления другого. Например, две производственные уста-новки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероят-ность одного события B, вычисленная в предположении осуществления другого события A, называется условной вероятностью события B и обозначается . условие его зависимости — в виде . Рассмотрим пример вычисления условной вероятности события. Пример. В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается. РЕШЕНИЕ. Обозначим A извлечение изношенного резца в первом случае, а — извлечение нового. То-гда . Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероят-ность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.
Amir (Haifa) 14. Законы распределения непрерывной случайной величины( нормальное распределение, равномерное распределение) Графики плотности. Определение 5.2. Закон распределения непрерывной случайной величины называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение ( f(x) = const при a ≤ x ≤ b, f(x) = 0 при x < a, x > b. Вид функции распределения для нормального закона: Определение 6.1. Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид: (6.1) График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Примерный вид кривой Гаусса изображен на рис.1. х Рис.1.Найдем вид функции распределения для нормального закона:
17. Поток случайных событий, его характеристики. Формула Пуассона. Поток событий — это последовательность однородных событий, наступающих одно за другим в случайные промежутки времени. Определение: Поток называют случайным, если его события происходят в случайные моменты времени. формула определяется теоремой Пуассона. Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность наступления события A ровно m раз приближенно равна: , (3.4)
где .
Amir (Haifa) 8. Число сочетаний. Формула Бернулли при нахождении вероятности повторяющихся событий. Пусть проводятся независимые испытания (такие, при которых вероятность появления события в каждом испытании не зависит от результатов преды-дущих испытаний). Далее, вероятность наступления интересующего нас события в каждом испытании по-стоянна и равна p. Тогда вероятность того, что рас-сматриваемое событие появится ровно k раз при n ис-пытаниях (безразлично, в каком порядке), равна
В формуле Бернулли используется число сочетаний.
Повторюсь, что для реализации схемы Бернулли необ-ходимы два условия:
1) независимость проводимых испытаний;
2) p = const (постоянное значение вероятности появления события)
Число сочетаний:
Имеется n различных (неодинаковых, неповторяющихся) элементов. Требуется выбрать из них m элементов, безразлично, в каком порядке.
Пример. Система, составленная из че-тырёх блоков, работает исправно, если за рассматри-ваемый период выйдет из строя не более двух блоков. Найти вероятность безотказной работы системы бло-ков, если отказы блоков являются независимыми событиями и вероятность отказа каждого блока равна 1/8. РЕШЕНИЕ.Вероятность того, что за рас-сматриваемый период ни один из блоков не выйдет из строя:
Вероятность того, что за рассматриваемый период выйдет из строя один блок:
Вероятность того, что за рассматриваемый период выйдет из строя два блока:
Вероятность безотказной работы системы:
Amir (Haifa) 9. Формула полной вероятности. События об-разуют полную группу, если они в совокупности опи-сывают все возможные несовместные друг с другом исходы некоторого испытания; сумма вероятностей событий полной группы равна 1. Например, испытание - бросание игральной кости. Всего исходов испытания - шесть (число выпавших очков от 1 до 6), каждый мо-жет произойти с вероятностью 1/6, сумма вероятностей всех исходов равна 1.
Предположим, что событие A может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипо-тез) H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Тогда вероятность события A определяется как сумма произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А: Пример. В каждой из двух урн находится 9 белых и 14 чёрных шаров. Из первой урны во вторую переложили наудачу один шар, а затем из второй урны вынули нау-дачу один шар. Найти вероятность того, что шар, вы-нутый из второй урны, окажется чёрным. РЕШЕНИЕ.
Событие А - шар, вынутый из второй урны, оказался чёрным. Гипотеза Н1 - из первой урны во вторую пере-ложили белый шар. Р(Н1) = 9/23. Гипотеза Н2 - из пер-вой урны во вторую переложили чёрный шар. Р(Н2) = 14/23. После перекладывания во второй урне стало 24 шара. Условные вероятности события А: По формуле вероятности:
Amir (Haifa) 10. Формула Байеса. Пример
Предположим, что событие A может наступить лишь при появлении одного из несовместных со-бытий (гипотез) H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Событие A уже произошло. Требуется вы-числить условные вероятности гипотез (при усло-вии, что событие А произошло).
Пример.
Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает 5% брака, второй - 4%. Для контроля отобрано 20 деталей с первого цеха и 10 деталей со второго. Эти детали смешаны в одну партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Деталь оказалась бракованная. Какова вероятность того, что она из цеха №1? РЕШЕНИЕ. Событие А – деталь оказалась бракованной. Гипотеза Н1 – деталь изготовлена в 1-м цехе; Р(Н1) = 2/3 Гипотеза Н2 – деталь изготовлена во 2-м цехе; Р(Н2) = 1/3
Условные вероятности события А: PH1(A)=0, 05; PH2(A)=0, 04 Требуется найти вероятность первой гипотезы в предположении, что событие А уже произошло: PA(H1) -?
Используем формулу вероятности гипотез Бейеса, подставив в знаменатель формулу полной вероят-ности:
13. Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины. Свойства. Функцией распределения F(x) слу-чайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х: F (x) = p (X < x). (4.1). Свойства функции распределения.1) 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2) Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F(x2) ≥ F(x1) при х2 > x1 3) Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [a, b], равна разности значений функции распределения на концах интервала: p ( a < X < b ) = F(b) – F(a). Определение 5.1. Функция f(x), называемая плотностью распределения непрерывной случайной величины, определяется по формуле: f (x) = F′(x), (5.1) то есть является производной функции распределения. Свойства плотности распределения. 1) f(x) ≥ 0, так как функция распределения является неубывающей.2) , что следует из определения плотности распределения.3) Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) определяется формулой 4) (условие нормировки) 5) так как при Таким образом, график плотности рас-пределения представляет собой кривую, располо-женную выше оси Ох. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице. Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосре-доточены на интервале [a, b], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала [a, b] f(x) ≡ 0.
Amir (Haifa) 15.Числовые характеристики непрерыв-ной случайной величины(дисперсия). Свойства. Вычисление Д(х) для основных законов распределения
Дисперсия непрерывной случайной величины вы-числяется по формуле:
Свойства дисперсии:1) Дисперсия постоянной ве-личины равна нулю. 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. 3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. 4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероят-ности появления и не появления события в каждом испытании. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии:
σ(X) = √D(X)
Amir (Haifa) 6.Противоположные события. Пример. Веро-ятность суммы противоположных событий.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозна-чать Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна едини-це:.З а м е ч а н и е 1. Если ве-роятность одного из двух противоположных со-бытий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы p + q = l. З а м е ч а н и е 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле . Пример 1. Вероятность того, что день будет дождливым, р = 0, 7. Найти вероятность того, что день будет ясным. Р е ш е н и е. События «день дождливый» и «день ясный» — противоположные, поэтому искомая вероятность q = 1 — p = 1 — 0, 7 = 0, 3,
7. Полная группа событий. Пример. Ве-роятность полной группы. Определение: Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной груп-пой. Два противоположных события составляют полную группу. Если несколько событий: образуют полную группу, несовместны и равновозможны, то они называются случаями. Случай называется благоприятным событию, если появление этого случая влечет за собой появление события. Определение: вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию случаев к общему числу всех равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность события А вычисляется по формуле:
, где n – общее число случаев, m – число случаев, благоприятных событию А. При-мер. Набирая номер телефона, абонент забыл од-ну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра. Решение:Обозначим через А событие - набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число всех возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:Р(А)=1/10 = 0, 1.
Amir (Haifa) 11. Дискретные случайные величины. Би-номинальный закон распределения. Биноми-нальное распределение - это распределение вероятностей возможных чисел появления собы-тия А при n независимых испытаниях, в каждом из ко-торых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью Р(А) = р = const. Кроме собы-тия А может произойти также противоположное событие Ā, вероятность которого Р(Ā) = 1 - р = q. Вероятности любого числа событий соответствуют членам разложения бинома Ньютона в степени, равной числу испыта-ний: где pn - вероятность того, что при n испытаниях собы-тие А наступит n раз; qn - вероятность того, что при n испытаниях событие А не наступит ни ра-зу; - вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз, а собы-тие Āнаступит n-m раз; - число сочетаний (ком-бинаций) появления события А и Ā. Числовые харак-теристики биноминального распределения: М(m)=np - математическое ожидание частоты появления события А при n независимых испытаниях; D(m)=npq - дисперсия частоты появления собы-тия. А; - среднее квадратическое отклонение частоты.
12. Дискретные случайные величины. Закон Пуассона. Событие называются редкими, когда вероятность события р или противоположного ему q близка к нулю. При большом числе испыта-ний (n), но небольшой величине произведения числа испытаний на вероятность (np)
, которое меньше 10, вероятности полученные по формуле Лапласа не-достаточно близки к их истинным значениям. то-гда применяют другую асимптотическую форму-лу Пуассона.Теорема. Если вероят-ность р наступления события А в каждом испыта-нии постоянно близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, произведе-ние np = λ, то вероятность Рn(m) того, что в n независимых испытаниях события А наступит m раз, приближенно рав-на , т.е.
Amir (Haifa) 16.Числовые характеристики дискретных случайных величин(математическое ожида-ние). Свойства. Вычисление М(X) для ос-новных законов распределения. Случайную ве-личину полностью задает закон ее распределения. Чтобы определить закон распределения дискретной случайной величины, необходимо установить соответствие между всеми возможными значениями данной случайной величины и их вероятностями.. Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:
В частности, если с.в. задана своей плотностью вероятности на каком-либо отрезке, то и интеграл вычисляем на этом отрезке.СВОЙСТВА 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной. 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. 3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. 4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р. Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.
ЕГЭ 2015 март Репетиционное Демо Математика с ответами и ...
Вероятность того, что новый электрический чайник выйдет из строя в течение ближайших двух лет равна 0,32, а вероятность, что он прослужит более ...
Что будет необходимо, чтобы создать свою систему из солнечных панелей?
Как автоматические двери знают, когда следует открывать?
У птиц бывает электрический шок, когда они сидят на проводах?
Проблемы, связанные со светодиодными лампами
Светодиодные лампы и повреждения глаз